Линейные цепи с сосредоточенными параметрами

Содержание

Радиотехнические цепи и элементы, используемые для осуществления перечисленных в § 1.2 преобразований сигналов и колебаний, можно разбить на следующие основные классы:

линейные цепи с постоянными параметрами;

линейные цепи с переменными параметрами;

Следует сразу же указать, что в реальных радиоустройствах четкое выделение линейных и нелинейных цепей и элементов не всегда возможно. Отнесение одних и тех же элементов к линейным или нелинейным часто зависит от уровня воздействующих на них сигналов.

Тем не менее приведенная выше классификация цепей необходима для понимания теории и техники обработки сигналов.

Сформулируем основные свойства этих цепей.

2. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Можно исходить из следующих определений.

1. Цепь является линейной, если входящие в нее элементы не зависят от внешней силы (напряжения, тока), действующей на цепь.

2. Линейная цепь подчиняется принципу суперпозиции (наложения).

В математической форме этот принцип выражается следующим равенством:

где L — оператор, характеризующий воздействие цепи на входной сигнал.

Суть принципа суперпозиции может быть сформулирована следующим образом: при действии на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи (ток, напряжение) можно определить путем наложения (суперпозиции) решений, найденных для каждой из силе отдельности. Можно использовать еще и такую формулировку: в линейной цепи сумма эффектов от отдельных воздействий совпадает с эффектом от суммы воздействий. При этом предполагается, что цепь свободна от начальных запасов энергии.

Принцип наложения лежит в основе спектрального и операторного методов анализа переходных процессов в линейных цепях, а также метода интеграла наложения (интеграл Дюамеля). Применяя принцип наложения, любые сложные сигналы при передаче их через линейные цепи можно разложить на простые, более удобные для анализа (например, гармонические).

3. При любом сколь угодно сложном воздействии в линейной цепи с постоянными параметрами не возникает колебаний новых частот. Это вытекает из того факта, что при гармоническом воздействии на линейную цепь с постоянными параметрами колебание на выходе также остается гармоническим с той же частотой, что и на входе; изменяются лишь амплитуда и фаза колебания. Разложив сигналы на гармонические колебания и подставив результаты разложения в (1.1), убедимся, что на выходе цепи могут существовать только колебания с частотами, входящими в состав входного сигнала.

Это означает, что ни одно из преобразований сигналов, сопровождающихся появлением новых частот (т. е. частот, отсутствующих в спектре входного сигнала), не может в принципе быть осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами. Такие цепи находят широчайшее применение для решения задач, несвязанных с трансформацией спектра, таких как линейное усиление сигналов, фильтрация (по частотному признаку) и т. д.

3. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Имеются в виду цепи, один или несколько параметров которых изменяются во времени (но не зависят от входного сигнала). Подобные цепи часто называются линейными параметрическими.

Сформулированные в предыдущем пункте свойства 1 и 2 справедливы и для линейных параметрических цепей. Однако в отличие от предыдущего случая даже простейшее гармоническое воздействие создает в линейной цепи с переменными параметрами сложное колебание, имеющее спектр частот. Это можно пояснить на следующем простейшем примере. Пусть к резистору, сопротивление которого изменяется во времени по закону

приложена гармоническая ЭДС

Ток через сопротивление

Как видим, в составе тока имеются компоненты с частотами , которых нет в . Даже из этой простейшей модели ясно, что, изменяя во времени сопротивление, можно осуществить преобразование спектра входного сигнала.

Аналогичный результат, хотя и с более сложными математическими выкладками, можно получить для цепи с переменными параметрами, содержащей реактивные элементы — катушки индуктивности и конденсаторы. Этот вопрос рассматривается в гл. 10. Здесь лишь отметим, что линейная цепь с переменными параметрами преобразует частотный спектр воздействия и, следовательно, может быть использована для некоторых преобразований сигналов, сопровождающихся трансформацией спектра. Из дальнейшего будет также видно, что периодическое изменение во времени индуктивности или емкости колебательной цепи позволяет при некоторых условиях осуществить «накачку» энергии от вспомогательного устройства, изменяющего этот параметр («параметрические усилители» и «параметрические генераторы», гл. 10).

4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

Радиотехническая цепь является нелинейной, если в ее состав входят один или несколько элементов, параметры которых зависят от уровня входного сигнала. Простейший нелинейный элемент — диод с вольт-амперной характеристикой, представленной на рис. 1.4.

Перечислим основные свойства нелинейных цепей.

1. К нелинейным цепям (и элементам) принцип суперпозиции неприменим. Это свойство нелинейных цепей тесно связано с кривизной вольт-амперных (или иных аналогичных) характеристик нелинейных элементов, нарушающей пропорциональность между током и напряжением. Например, для диода, если напряжению соответствует ток а напряжению — ток то суммарному напряжению будет соответствовать ток отличный от суммы (рис. 1.4).

Из этого простого примера видно, что при анализе воздействия сложного сигнала на нелинейную цепь его нельзя разлагать на более простые; необходимо искать отклик цепи на результирующий сигнал. Неприменимость для нелинейных цепей принципа суперпозиции делает непригодными спектральный и иные методы анализа, основанные на разложении сложного сигнала на составляющие.

2. Важным свойством нелинейной цепи является преобразование спектра сигнала. При воздействии на нелинейную цепь простейшего гармонического сигнала в цепи помимо колебаний основной частоты возникают гармоники с частотами, кратными основной частоте (а в некоторых случаях и постоянная составляющая тока или напряжения). В дальнейшем будет показано, что при сложной форме сигнала в нелинейной цепи помимо гармоник возникают еще и колебания с комбинационными частотами, являющиеся результатом взаимодействия отдельных колебаний, входящих в состав сигнала.

С точки зрения преобразования спектра сигнала следует подчеркнуть принципиальное различие между линейными параметрическими и нелинейными цепями. В нелинейной цепи структура спектра на выходе зависит не только от формы входного сигнала, но и от его амплитуды. В линейной параметрической цепи структура спектра от амплитуды сигнала не зависит.

Особенный интерес для радиотехники представляют свободные колебания в нелинейных цепях. Подобные колебания называются автоколебаними, поскольку они возникают и могут устойчиво существовать в отсутствие внешнего периодического воздействия. Расход энергии компенсируется источником энергии постоянного тока.

Основные радиотехнические процессы: генерация, модуляция, детектирование и преобразование частоты — сопровождаются трансформацией частотного спектра. Поэтому эти процессы можно осуществить с помощью либо нелинейных, либо линейных параметрических цепей. В некоторых случаях используются одновременно как нелинейные, так и линейные параметрические цепи. Следует, кроме того, подчеркнуть, что нелинейные элементы работают в сочетании с линейными цепями, осуществляющими выделение полезных компонентов преобразованного спектра. В связи с этим, как уже отмечалось в начале данного параграфа, деление цепей на линейные, нелинейные и линейные параметрические весьма условно. Обычно для описания поведения различных узлов одного и того же радиотехнического устройства приходится применять разнообразные математические методы — линейные и нелинейные.

Рис. 1.4. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента (диода)

Изложенные выше основные свойства цепей трех классов — линейных с постоянными параметрами, линейных параметрических и нелинейных — сохраняются при любых формах реализации цепей: с сосредоточенными параметрами, с распределенными параметрами (линии, излучающие устройства) и т. д. Эти свойства распространяются также и на устройства цифровой обработки сигналов.

Следует, однако, подчеркнуть, что положенный в основу деления цепей на линейные и нелинейные принцип суперпозиции сформулирован выше для операции суммирования сигналов на входе цепи [см. (1.1). Однако этой операцией не исчерпываются требования к современным системам обработки сигналов. Важным для практики является, например, случай, когда сигнал на входе цепи является произведением двух сигналов. Оказывается, что и для подобных сигналов можно осуществить обработку, подчиняющуюся принципу суперпозиции, однако эта обработка будет являться сочетанием специально подобранных нелинейных и линейных операций. Подобная обработка называется гомоморфной.

Синтез подобных устройств рассматривается в конце курса (см. гл. 16), после изучения линейных и нелинейных цепей, а также цифровой обработки сигналов, развитие которой и явилось толчком к широкому применению гомоморфной обработки.

Пассивные электрические цепи могут быть с сосредоточенными и распределенными параметрами.

Цепь состоит из источников R,L,C и соединительных проводов.

Если можно указать ограниченное пространство, в котором локализована электрическая составляющая электромагнитного поля (конденсатор-емкость С), магнитная составляющая электромагнитного поля (катушка-индуктивность L) локализованы потери и определенным некоторым элементам R, локализованы источники, длина соединительных проводов намного меньше длины волны электромагнитных колебаний , то цепь составленную из таких элементов следует считать цепью с сосредоточенными параметрами.

Если не выполнено хотя бы одно из перечисленных условий, то цепь следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами.

Свойства цепи с сосредоточенными параметрами:

1)Если в данной цепи провести ряд сечений и включить в данное сечение А, то ток во всех точках в один и тот же момент окажется одинаковым.

2)Такая цепь не излучает в окружающее пространство электромагнитную энергию, все процессы сосредоточены внутри цепи.

Возникает вопрос: как разбивать схему для анализа?

В данной схеме, как источник u(t) поставляющий энергию в цепь, так и расходующий её пассивный элемент могут рассматриваться либо как элементы, в ходящие в состав данной цепи, либо как внешние по отношению к ней. В простейших случаях резистор считают элементом цепи, а источник внешним по отношению к ней.

Если электрическая цепь подключается к внешним элементам в двух точках (точка 1и 1’ на рисунке 2.1), то она называется двухполюсной.

Схему 2.1 можно считать как 2 двухполюсника

А- можно условно считать внешним по отношению к Б.Двухполюсник можно представить в виде четырехполюсника, r-выделяем как нагрузку -отдельный двухполюсник, тогда оставшаяся часть Б представляет четырехполюсник с парой входных и парой выходных зажимов. В нашем случае простая цепь, поэтому не обязательно производить разбиение.

Дата добавления: 2015-12-08 ; просмотров: 1944 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Если электрическая цепь содержит хотя бы один элемент с распределенными параметрами, то эта цепь называется цепью с распределенными параметрами. В противном случае цепь с сосредоточенными параметрами.

Элемент с сосредоточенными параметрами – это такой элемент, размеры которого не влияют на физические процессы в нем. К элементам с распределенными параметрами относятся линии передач, антенны. Если размеры элемента влияют на физические процессы, то это элемент с распределенными параметрами. В основном большинство элементов будем считать элементами с сосредоточенными параметрами.

Все высказанные выше определения достаточно условны. Один и тот же элемент в той или иной степени описания процесса на нем может быть отнесен к линейным или нелинейным, с распределенными или сосредоточенными параметрами.

В дальнейшем мы будем изучать линейные цепи с сосредоточенными параметрами.

Электрическая схема

Графическое изображение электрической цепи называется электрической схемой. На электрических схемах различают 3 элемента:

1. Ветвь – это последовательное соединение элементов, по которым протекает один и тот же ток.

2. Узел – это место электрической схемы, где сходится 3 и более ветвей.

3. Контур – это замкнутый участок цепи.

— ветви;

— узлы;

— замкнутые контуры.

Число независимых контуров – это минимальное количество контуров, из которых может быть составлена рассматриваемая схема.

Обозначим — число ветвей, — число узлов, — число независимых контуров, которое определяется по формуле .

Положительные направления токов, падений напряжений и э.д.с.

Обычно при анализе электрических цепей произвольно выбирается положительное направление токов в ветвях. Затем в зависимости от выбранных положительных направлений токов определяются положительные направления падений напряжений на элементах. Рассмотрим отдельные элементы.