Логическая связка ДИЗЪЮНКЦИЯ (от лат. disjunctio — различаю).
Название – логическое сложение .
в алгебре высказываний Аv B ,
в языках программирования O r .
В естественном языке ему соответствует союз " или ".
Например, из двух простых высказываний А=" На улице светит солнце " и В=" На улице пасмурная погода " построим сложное, используя союз-связку " или ".
Получим " На улице светит солнце или пасмурная погода ".
Дизъюнкции соответствует следующая таблица истинности:
| Дизъюнкция | |
|---|---|
| ИЛИ, OR | |
 Диаграмма Венна |
|
| Определение | x + y <displaystyle x+y>  |
| Таблица истинности | ( 0111 ) <displaystyle (0111)> |
| Логический вентиль |  |
| Нормальные формы | |
| Дизъюнктивная | x + y <displaystyle x+y> |
| Конъюнктивная | x + y <displaystyle x+y> |
| Полином Жегалкина | x ⊕ y ⊕ x y <displaystyle xoplus yoplus xy> |
| Принадлежность предполным классам | |
| Сохраняет 0 | Да |
| Сохраняет 1 | Да |
| Монотонна | Да |
| Линейна | Нет |
| Самодвойственна | Нет |
Дизъю́нкция (от лат. disjunctio — разобщение), логи́ческое сложе́ние, логи́ческое ИЛИ, включа́ющее ИЛИ; иногда просто ИЛИ — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу» [1] .
Дизъюнкция может быть операцией как бинарной (имеющей два операнда), так и n <displaystyle n> -арной (имеющей n <displaystyle n> операндов) для произвольного n <displaystyle n> .
Запись может быть префиксной — знак операции стоит перед операндами (польская запись), инфиксной — знак операции стоит между операндами или постфиксной — знак операции стоит после операндов. При числе операндов более двух префиксная и постфиксная записи экономичнее.
Содержание
Обозначения [ править | править код ]
Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции дизъюнкции:
a ∨ b , a <displaystyle alor b,;a> || b , a <displaystyle b,;a> | b , a OR b <displaystyle b,;a
<mbox, max ( a , b ) . <displaystyle ,;max(a,b).>
При этом обозначение a ∨ b <displaystyle alor b> , рекомендованное международным стандартом ISO 31-11, наиболее широко распространено в современной математике и математической логике [2] . Появилось оно не сразу: Джордж Буль, положивший начало систематическому применению символического метода к логике, не работал с дизъюнкцией (используя вместо неё строгую дизъюнкцию, которую обозначал знаком + ), а Уильям Джевонс предложил для дизъюнкции знак ·|· . Эрнст Шрёдер и П. С. Порецкий вновь использовали знак + , но уже применительно к обычной дизъюнкции [3] . Символ ∨ <displaystyle lor > как обозначение дизъюнкции впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов» [4] Бертрана Рассела (1908); он образован от лат. vel , что означает «или» [5] [6] .
Обозначение ⋁ для дизъюнкции было использовано и в раннем языке программирования Алгол 60 [7] . Однако из-за отсутствия соответствующего символа в стандартных наборах символов (например, в ASCII или EBCDIC), применявшихся на большинстве компьютеров, в получивших наибольшее распространение языках программирования были предусмотрены иные обозначения для дизъюнкции. Так, в Фортране IV и PL/I применялись соответственно обозначения .OR. и | (с возможностью замены последнего на ключевое слово OR ) [8] ; в языках Паскаль и Ада используется зарезервированное слово or [9] [10] ; в языках C и C++ применяются обозначения | для побитовой дизъюнкции и || для логической дизъюнкции [11] ).
Наконец, при естественном упорядочении значений истинности двузначной логики (когда полагают, что 0 1 <displaystyle 0 ), оказывается, что ( a ∨ b ) = max ( a , b ) . <displaystyle (alor b),=,max(a,b).> Таким образом, дизъюнкция оказывается частным случаем операции вычисления максимума; это открывает наиболее естественный способ определить операцию дизъюнкции в системах многозначной логики [12] [13] .
Булева алгебра [ править | править код ]
Логическая функция MAX в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция (логи́ческое «ИЛИ», логи́ческое сложе́ние или просто «ИЛИ»). При этом результат равен наибольшему операнду.
В булевой алгебре дизъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Таким образом, результат равен 0 <displaystyle 0> , если все операнды равны 0 <displaystyle 0> ; во всех остальных случаях результат равен 1 <displaystyle 1> .
| Таблица истинности | ||
|---|---|---|
| a <displaystyle a> |
b <displaystyle b> |
a ∨ b <displaystyle alor b> |
| 0 <displaystyle 0> |
0 <displaystyle 0> |
0 <displaystyle 0> |
| 0 <displaystyle 0> |
1 <displaystyle 1> |
1 <displaystyle 1> |
| 1 <displaystyle 1> |
0 <displaystyle 0> |
1 <displaystyle 1> |
| 1 <displaystyle 1> |
1 <displaystyle 1> |
1 <displaystyle 1> |
Таблица истинности для тернарной (трёхоперандной) дизъюнкции:
Многозначная логика [ править | править код ]
Операция, называемая в двоичной логике дизъюнкция, в многозначных логиках называется максимум: m a x ( a , b ) <displaystyle max(a,b)> , где a , b ∈ [ 0 , . . . , n − 1 ] <displaystyle a,bin [0. n-1]> , а n <displaystyle n> — значность логики. Возможны и другие варианты [ чего? ] . Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов 0 , 1 <displaystyle 0,1> .
Следует отметить, что название этой операции максимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия дизъюнкция, логи́ческое «ИЛИ», логическое сложе́ние и просто «ИЛИ» характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.
Классическая логика [ править | править код ]
В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:
- a → a ∨ b <displaystyle a o alor b>
- b → a ∨ b <displaystyle b o alor b>
- ( a → c ) → ( ( b → c ) → ( ( a ∨ b ) → c ) ) <displaystyle (a o c) o ((b o c) o ((alor b) o c))>
С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.
Схемотехника [ править | править код ]
Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:
- «1» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
- «0» тогда и только тогда, когда на всех входах «0»
Теория множеств [ править | править код ]
С точки зрения теории множеств, дизъюнкция аналогична операции объединения.
Программирование [ править | править код ]
В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++/Perl/PHP логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое — символом "|". В языках Pascal/Delphi оба вида дизъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «or», а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.
Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата f a l s e <displaystyle false> или t r u e <displaystyle true> . Например:
Результат будет равен f a l s e <displaystyle false> , если оба операнда равны f a l s e <displaystyle false> или 0 <displaystyle 0> . В любом другом случае результат будет равен t r u e <displaystyle true> .
При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно t r u e <displaystyle true> , то значение правого операнда не вычисляется (вместо b <displaystyle b> может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую
подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет необходимость вычисления правого операнда:
В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт разыменования нулевого указателя.
Побитовое «ИЛИ» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,
| если | |
| a = | 01100101 2 <displaystyle 01100101_<2>> |
| b = | 00101001 2 <displaystyle 00101001_<2>> |
| то | |
| a ИЛИ b = | 01101101 2 <displaystyle 01101101_<2>> |
Связь с естественным языком [ править | править код ]
Часто указывают на сходство между дизъюнкцией и союзом «или» в естественном языке, когда он употребляется в смысле «или то, или то, или оба сразу». В юридических документах часто пишут: «и (или)», иногда «и/или», подразумевая «или то, или то, или оба сразу». Составное утверждение «A и/или B» считается ложным, когда ложны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение истинно. Это в точности соответствует определению дизъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как 1 <displaystyle 1> , а «ложь» как 0 <displaystyle 0> .
Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» используется в двух значениях: то для обозначения дизъюнкции, то для другой операции — строгой дизъюнкции (исключающего «ИЛИ»).
Дизъюнкция — Дизъюнкция ♦ Disjonction Разделение, разъединение. В логике дизъюнкцией называют высказывание, состоящее из двух или более частей, соединенных разделительным союзом «или»: «р или q» – дизъюнкция. Различают эксклюзивный и инклюзивный виды… … Философский словарь Спонвиля
ДИЗЪЮНКЦИЯ — (от лат. disjunctio разобщение, обособление), в широком смысле сложное высказывание, образованное из двух или более предложений с помощью союза «или», выражающего альтернативность, или выбор. В символич. логике Д. наз. логич. связку… … Философская энциклопедия
ДИЗЪЮНКЦИЯ — ДИЗЪЮНКЦИЯ, логическое высказывание, которое получается путем объединения двух простых утверждений при помощи слова «или». Например, дизъюнкцией является высказывание «Джон отличается умом или Джон отличается скромностью»; оно ложно, если обе его … Научно-технический энциклопедический словарь
ДИЗЪЮНКЦИЯ — [лат. disjunctio] лог. 1) объединение двух высказываний с помощью разделительного союза «или»; 2) разделение, противоположение. Словарь иностранных слов. Комлев Н.Г., 2006. дизъюнкция (лат. disjunctio) логическая операция, образующая сложное… … Словарь иностранных слов русского языка
ДИЗЪЮНКЦИЯ — (лат. disjunctio разобщение) в логике, математике и др. логический эквивалент союза или ; операция, формализующая основные логические свойства этого союза … Большой Энциклопедический словарь
дизъюнкция — сущ., кол во синонимов: 1 • операция (457) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
дизъюнкция — — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN disjunction … Справочник технического переводчика
Дизъюнкция — * дыз’юнкцыя * disjunction разобщение непрерывного ареала вида или рода на части. Разрывы между отдельными частями дизъюнктивного ареала. Д. может находиться в пределах одного материка или на разных материках. Примерами Д. являются… … Генетика. Энциклопедический словарь
дизъюнкция — и; ж. [лат. disjunctio разобщение] Логическая операция, содержащая в себе союз или . ◁ Дизъюнктивный, ая, ое. Д ое суждение (логическое суждение с союзом или ). * * * дизъюнкция (лат. disjunctio разобщение), (в логике, математике, лингвистике… … Энциклопедический словарь
дизъюнкция — disjunkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. disjonction; logical sum vok. Disjunktion, f; logische Summe, f; logische Summenbildung, f rus. дизъюнкция, f; логическая сумма, f pranc. disjonktion, f; somme logique, f ryšiai:… … Automatikos terminų žodynas