Будем считать, что коммутация происходит в момент , а все переходные процессы в цепи начинаются с момента , т. е. непосредственно после коммутации. Состояние цепи до коммутации оценивается в момент .
Законы коммутации относятся к энергоемким (реактивным) элементам, т. е. к емкости и индуктивности. Они гласят: напряжение на емкости и ток в индуктивности при конечных по величине воздействиях являются непрерывными функциями времени, т. е. не могут изменяться скачком.
Математически эта формулировка может быть записана следующим образом
Законы коммутации являются следствием определений элементов емкости и индуктивности.
Так для емкости
а для индуктивности
Полученные интегралы с переменными верхними пределами являются непрерывными функциями их пределов (времени ) при ограниченных значениях и , которые являются именно таковыми.
Физически закон коммутации для индуктивности объясняется противодействием ЭДС самоиндукции изменению тока, а закон коммутации для емкости — противодействием напряженности электрического поля конденсатора изменению внешнего напряжения.
При количественном анализе переходных колебаний в условия каждой конкретной задачи должны входить значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т. е. в начальный момент. Эти значения образуют начальные условия задачи. Ими, в силу законов коммутации, задаются те напряжения и токи в цепи, которые сохраняют свои значения в момент времени непосредственно после коммутации. Если в момент коммутации напряжение на всех емкостях цепи и токи во всех индуктивностях цепи равны нулю, то соответствующие начальные условия называются нулевыми.
Если же это не выполняется хотя бы в одном реактивном элементе цепи, то задача решается при ненулевых начальных условиях.
На практике при решении задач важное значение имеет умение находить начальные и конечные значения реакций.
Безошибочно это сделать можно только при твердом знании законов коммутации и их правильном применении. Проиллюстрируем это на примере.
Пусть в цепи, изображенной на схеме (рис. 3) и находящейся при нулевых начальных условиях в момент включается источник постоянного напряжения путем замыкания ключа. Требуется определить начальные (для ) и конечные (для ) значения реакций.
Изобразим схему для (рис. 4) с учетом законов коммутации (КЗ); обрыв (ХХ),
Теперь определим реакции для с учетом того, что режим установился. Емкость при этом уже зарядится, и будет представлять собой обрыв. Следовательно, все реакции будут равны нулю, за исключением напряжения на емкости, которое будет равно .
При анализе переходных колебаний в электрических цепях применяются следующие методы для нахождения реакций:
— классический, основанный на составлении и решении дифференциальных уравнений;
— операторный, основанный на применении преобразования Лапласа;
— временной, использующий переходные и импульсные характеристики;
— частотный, базирующийся на спектральном представлении воздействия (преобразование Фурье).
Укажем, что последних три метода применимы только для линейных электрических цепей, поскольку в их основе лежит метод наложения (суперпозиции).
Переходные процессы не являются чем-то необычным и характерны не только для электрических цепей. Можно привести ряд примеров из разных областей физики и техники, где случаются такого рода явления.
Переходным режимом (или переходным процессом) называется режим, возникающий в электрической цепи при переходе от одного стационарного состояния к другому, чем-либо отличающемуся от предыдущего, а сопутствующие этому режиму напряжения и токи — переходными напряжениями и токами. Изменение стационарного режима цепи может происходить в результате изменения внешних сигналов, в том числе включения или отключения источника внешнего воздействия, или может быть вызвано переключениями внутри самой цепи.
Любое изменение в электрической цепи, приводящее к возникновению переходного процесса называют коммутацией. В большинстве случаев теоретически допустимо считать, что коммутация осуществляется мгновенно, т.е. различные переключения в цепи происходят без затраты времени. Процесс коммутации на схемах условно показывается стрелкой возле выключателя.
Переходные процессы в реальных цепях являются быстропротекающими. Их продолжительность составляет десятые, сотые, а часто и миллионные доли секунды. Сравнительно редко длительность этих процессов достигает единицы секунды.
Естественно возникает вопрос, надо ли вообще принимать во внимание переходные режимы, имеющие столь короткую длительность. Ответ может быть дан только для каждого конкретного случая, так как в различных условиях роль их неодинакова. Особенно велико их значение в устройствах, предназначенных для усиления, формирования и преобразования импульсных сигналов, когда длительность воздействующих на электрическую цепь сигналов соизмерима с продолжительностью переходных режимов.
Переходные процессы являются причиной искажения формы импульсов при прохождении их через линейные цепи. Расчет и анализ устройств автоматики, где происходит непрерывная смена состояния электрических цепей, немыслим без учета переходных режимов.
В ряде устройств возникновение переходных процессов, в принципе, нежелательно и опасно. Расчет переходных режимов в этих случаях позволяет определить возможные перенапряжения и увеличения токов, которые во много раз могут превышать напряжения и токи стационарного режима. Это особенно важно для цепей со значительной индуктивностью или большой емкостью.
Возникновение переходных процессов связано с особенностями изменения запасов энергии в реактивных элементах цепи. Количество энергии, накапливаемой в магнитном поле катушки с индуктивностью L, в которой протекает ток iL, выражается формулой: WL = 1/2 (LiL 2 )
Энергия, накапливаемая в электрическом поле конденсатора емкостью С, заряженного до напряжения uC, равна: WC = 1/2 (CuC 2 )
Поскольку запас магнитной энергии WL определяется током в катушке iL, а электрической энергии WC — напряжением на конденсаторе uC, то во всех электрических цепях три любых коммутациях соблюдаются два основных положения: ток катушки и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком. Иногда эти положения формулируются иначе, а именно: потокосцепление катушки и заряд конденсатора могут изменяться только плавно, без скачков.
Переходные процессы в электрических цепях с двумя накопителями энергии. Короткое замыкание цепи RLC. Апериодический и колебательный режимы.
В данном случае электрическая цепь после коммутации содержит два реактивных элемента — индуктивность и емкость. Это означает, что дифференциальное уравнение цепи должно иметь второй порядок и поэтому должны быть определены два независимых начальных условия. До коммутации цепь находилась в состоянии покоя, что соответствует нулевым начальным условиям: uC(0+) = uC(0—) = 0; i(0+) = i(0—) = 0.
Напряжение на резисторе uR(t) и напряжение на индуктивности uL(t) выразим через uC(t):
.
Полученное уравнение является линейным дифференциальным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для определения свободной составляющей записываем соответствующее характеристическое уравнение LCp 2 + Rcp + 1 = 0 и определяем его корни:
где введены следующие обозначения: a = R / 2L — коэффициент затухания; w 0 = 1/ Ö LC — резонансная частота контура. Далее записываем выражение для свободной составляющей
.
Вынужденную составляющую решения определим как установившееся значение напряжения на емкости в режиме постоянного тока в цепи после коммутации.
Из уравнения по второму закону Кирхгофа получим uCуст = uCвын = U0. Таким образом, полное решение для напряжения
Выражение для тока необходимо для определения постоянных интегрирования. Используя нулевые начальные условия, при t = 0 получим: uC(0+) = A1 + A2 + U0 = 0; i(0+) = CA1p1 + CA2p2 = 0. Решение этой системы уравнений дает выражения для постоянных интегрирования:
Апериодический режим.
Условие a > w 0 , как нетрудно убедиться, эквивалентно соотношениям: R > 2r и Q 0,5 корни (1.27) характеристического уравнения будут комплексными p1,2 =- a ± j 
= — a ± jw k , где w k = — угловая частота свободных затухающих колебаний. При подстановке этих корней в (1.29) и (1.30) получим
Далее, используя формулы Эйлера для экспонент с мнимыми показателями, окончательно найдем:
Качественный график полученной функции напряжения на емкости показан на рис. 1.27.
При малых потерях в контуре (R
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10100 — 
| 7536 — 
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммутация– это замыкание или размыкание коммутирующих приборов (рис. 4.3). В результате таких внезапных изменений параметров в электрической цепи происходит переход из энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму.
При анализе переходных процессов пользуются двумя законами (правилами) коммутации.
Первый закон коммутации: в любой ветви с катушкой ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменяться с этих значений.Иначе: ток через катушку не может измениться скачком. Этот закон можно записать в виде равенства
Для доказательства закона достаточно рассмотреть уравнение цепи (рис. 4.4), составленное по второму закону Кирхгофа
Если допустить, что ток в цепи изменяется скачком, то напряжение на катушке будет равно бесконечности 
Тогда в цепи не соблюдается закон Кирхгофа, что невозможно.
В случае нескольких цепей связанных взаимной индуктивностью, но не имеющих в каждой катушке магнитных потоков рассеяния, в момент
Рис. 4.4 коммутации общий магнитный поток не может измениться скачком, тогда как токи в каждой из этих цепей могут измениться скачком.
Второй закон коммутации: в любой ветви напряжение и заряд на конденсаторе сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, начиная с этих значений.
Иначе: напряжение на конденсаторе не может измениться скачком
Для доказательства закона рассмотрим уравнение цепи (рис. 4.5) по второму закону Кирхгофа
Рис 4.4. 
Если допустить, что напряжение на конденсаторе изменяется скачком, то производная 
а второй закон Кирхгофа нарушается. Однако ток через конденсатор
может изменяться скачком, что не противоречит второму закону Кирхгофа.
С энергетической точки зрения невозможность скачка тока через катушку и напряжения на конденсаторе объясняются невозможностью мгновенного изменения запасенных в них энергии магнитного поля катушки Li 2 /2 и энергии электрического поля конденсатора Cu 2 /2. Для этого потребовалась бы бесконечно большая мощность источника, что лишено физического смысла.
Дата добавления: 2015-03-19 ; просмотров: 7138 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ