Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.
Основные понятия
Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура. Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например I11, I22 и тд.
Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.
Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.
Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.
Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.
Общий план составления уравнений
1 – Выбор направления действительных токов.
2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.
3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров
4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов
5 – Нахождение действительных токов
Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.
Выполняем все поэтапно.
1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6.
2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.
3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.
Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.
4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.
Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:
Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.
Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:
В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.
5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.
Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.
Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.
Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.
Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть
А для остальных
Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!
- Вы здесь:
- Главная
- Уроки начинающим
- Часть1 — Постоянный ток
- 9. Анализ цепей постоянного тока
- 2. Метод токов ветвей
2. Метод токов ветвей
Метод токов ветвей
Первый и самый простой метод анализа цепей постоянного тока называется методом токов ветвей. В этом методе нам сначала нужно определить направления токов в цепи, а затем написать уравнения, описывающие их отношения друг с другом через законы Кирхгофа и Ома. Как только мы получим уравнения для каждого из неизвестных токов, мы сможем решить систему уравнений, рассчитав тем самым все токи, а затем и все напряжения в цепи.
Для рассмотрения метода мы будем использовать следующую схему:
Первое что нам нужно сделать — это выбрать узел цепи (место соединения проводов), который будет использоваться в качестве точки отсчета для поиска неизвестных токов. Мы выберем узел, соединяющий резистор R1 справа, R2 снизу и R3 слева.
Теперь нам нужно проставить направления токов в примыкающих к этому узлу проводах, обозначив их I1, I2 и I3 соответственно. Имейте ввиду, эти направления будут только предполагаемыми. Если выяснится, что наши предположения оказались ошибочными, то мы это увидим в процессе математического расчета (любые "неправильные" направления токов отобразятся в виде отрицательных чисел).
Согласно Первому Закону Кирхгофа, алгебраическая сумма токов входящих в узел и выходящих из него должна быть равна нулю, поэтому мы можем связать все токи нашей схемы (I1, I2 и I3) друг с другом при помощи одного уравнения. Все входящие в узел токи мы обозначим знаком "плюс", а выходящие из него — знаком "минус":
На следующем шаге нам нужно промаркировать полярности напряжений всех резисторов в соответствии с предполагаемыми направлениями токов. Конец резистора, в который ток втекает — будет отрицательным, а из которого вытекает — будет положительным (электрон заряжен отрицательно, и течет от минуса к плюсу):
Полярность батареи проставляется в соответствии со стандартом (короткий конец — отрицательный, длинный конец — положительный). В некоторых случаях вы можете обнаружить, что полярность резисторов не соответствует полярности батареи, а ток течет обратно через батарею. Ничего страшного, это только предполагаемое направление тока. Здесь важно помнить, что простановку полярности напряжений на резисторах и последующие расчеты нужно производить по изначально предполагаемым направлениям токов. Как отмечалось ранее, если ваши предположения окажутся неверными, то вы увидите это по окончательным результатам расчетов (они будут отрицательными). Сами же полученные величины все равно будут правильными.
Согласно Второму Закону Кирхгофа, алгебраическая сумма всех напряжений цепи должна равняться нулю. Исходя из этого, мы сможем создать несколько уравнений для нашей системы, подставив в них неизвестные значения токов (I1, I2 и I3). Для получения уравнений Второго Закона Кирхгофа нам нужно знать количество и полярность напряжений в каждой из ветвей цепи. В целях облегчения данной задачи давайте представим, что мы измерили все напряжения реальным вольтметром, обозначив неизвестные значения как положительное или отрицательное напряжение. Сначала мы создадим уравнение для левой ветви схемы, взяв за точку отсчета верхний левый угол, и двигаясь против часовой стрелки (выбор точки отсчета и направление — произвольны). Результат будет выглядеть следующим образом:
Закончив исследование левой ветви схемы, мы можем применить к полученным значениям Второй Закон Кирхгофа (сумма всех напряжений цепи равна нулю):
Нам еще неизвестны значения напряжений на резисторах R1 и R2, поэтому мы не можем вставить их в уравнение в виде числовых величин. Однако, мы знаем, что сумма этих трех напряжений равна нулю, поэтому уравнение верно. Теперь пойдем дальше, и выразим неизвестные напряжения как произведение неизвестных токов и соответствующих им сопротивлений (применив Закон Ома: U = IR), а так же уберем все нулевые значения из левой части уравнения:
Поскольку нам известны сопротивления всех резисторов, давайте подставим в уравнение конкретные числовые значения:
У вас наверняка возник вопрос: зачем мы произвели все эти манипулирования с первоначальным видом уравнения (-28 + ER2 + ER1)? Какая разница в чем будет выражено уравнение, в напряжении или в токе (умноженном на сопротивление), если в обоих случаях последние два члена до сих пор неизвестны? Ответ на данные вопросы прост. Целью всех выше приведенных преобразований является получение уравнения Второго Закона Кирхгофа с использованием тех же неизвестных переменных, что и в уравнении Первого Закона Кирхгофа, так как это является необходимым условием для решения любой системы уравнений. Чтобы найти значения трех неизвестных токов (I1, I2 и I3), у нас должно быть три уравнения, связывающих их вместе.
Применив те же самые действия к правой ветви схемы (начиная с выбранного узла и двигаясь против часовой стрелки), мы получим еще одно уравнение Второго Закона Кирхгофа:
Зная, что напряжение на каждом из резисторов может и должно быть выражено как произведение соответствующих токов и сопротивлений (величина которых известна), мы можем переписать это уравнение следующим образом:
Теперь у нас есть система из трех уравнений (одно уравнение Первого и два уравнения Второго Законов Кирхгофа) с тремя неизвестными:
Далее нам нужно перенести все известные величины в правые части уравнений, а неизвестные оставить в левой, дополнив их отсутствующими нулевыми значениями:
Решив эту систему уравнений мы получим следующий результат:
Таким образом, ток I1 равен 5 амперам, ток I2 равен 4 амперам и ток I3 равен минус 1 амперу. Отрицательное значение тока I3 означает что наше предположение по его направлению оказалось неверным. Давайте вернемся к первоначальной схеме и перерисуем стрелку этого тока на противоположное направление (исправив соответственно полярность напряжения на резисторе R3):
Обратите внимание на тот факт, что в правой ветви схемы ток течет обратно через батарею 2. Это происходит благодаря более высокому напряжению батареи 1 (в которой ток течет "как обычно" — через цепь от минуса к плюсу). Означает ли это, что более "сильная" батарея всегда будет "побеждать" более слабую. Вовсе нет! Данный фактор зависит как от относительных напряжений батарей, так и от сопротивлений резисторов цепи. Единственным способом установления происходящих в цепи процессов является математический анализ.
Итак, величины всех токов данной цепи нам известны. Теперь, при помощи Закона Ома (U = IR), можно рассчитать напряжения на всех ее резисторах:
Давайте теперь проанализируем эту схему при помощи программы PSPICE, проверив тем самым полученные результаты для напряжений. Данная программа, конечно, сможет рассчитать и токи, но тогда нам потребуется включить в схему дополнительные компоненты. Принимая во внимание этот факт, мы с вами пойдем по пути наименьшего сопротивления (если выданные программой значения напряжений совпадут с нашими расчетами, то и токи мы рассчитали правильно). Схема с номерами узлов для программы представлена ниже:
Как видите, результаты работы программы совпадают с нашими рассчетами: 20 вольт на резисторе R1 (узлы 1 и 2), 8 вольт на резисторе R2 (узлы 2 и 0) и 1 вольт на резисторе R3 (узлы 2 и 3). Обратите внимание на знаки всех этих напряжений: они имеют положительные значения! PSPICE основывает свою полярность на порядке, в котором перечислены узлы: первый узел должен быть положительным, а второй — отрицательным. Например, положительное (+) напряжение 20 вольт между узлами 1 и 2 означает, что узел 1 является положительным по отношению к узлу 2. Если бы число получилось отрицательным, то то ошибку следовало бы искать в порядке перечисления узлов.
Метод токов ветвей МТВ
Метод токов ветвей ( МТВ ) основан на законах Кирхгофа. Число уравнений по МТВ равно количеству неизвестных токов ветвей и определяется как
NВ – число ветвей электрической цепи;
NJ –число ветвей с источниками тока.
Количество уравнений, составляемых по I закону Кирхгофа равно
NУЗЛОВ – количество узлов электрической цепи.
Количество уравнений, составляемых по II закону Кирхгофа равно
При составлении уравнений по II закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.
МТВ, метод токов ветвей, закон Кирхгофа