Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:
Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур.
Расчет многоконтурной линейной электрической цепи, имеющей «b» ветвей с активными и пассивными элементами и «у» узлов, сводится к определению токов отдельных ветвей и напряжений на зажимах элементов, входящих в данную цепь.
Пассивной называется ветвь, не содержащая источника ЭДС. Ветвь, содержащая источник ЭДС, называется активной.
1-й закон Кирхгофа применяют к независимым узлам, т.е. таким, которые отличаются друг от друга хотя бы одной новой ветвью, что позволяет получить (y — I) уравнений.
Недостающие уравнения в количестве b — (у — I) составляют, исходя из второго закона Кирхгофа. Уравнение записывают для независимых контуров, которые отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью.
Порядок выполнения расчета:
- выделяют в электрической цепи ветви, независимые узлы и контуры;
- с помощью стрелок указывают произвольно выбранные положительные направления токов в отдельных ветвях, а также указывают произвольно выбранное направление обхода контура;
- составляют уравнения по законам Кирхгофа, применяя следующее правило знаков:
- токи, направленные к узлу цепи, записывают со знаком «плюс», а токи, направленные от узла,- со знаком «минус» (для первого закона Кирхгофа);
- ЭДС и напряжение на резистивном элементе (RI) берутся со знаком»плюс», если направления ЭДС и тока в ветви совпадают с направлением обхода контура, а при встречном направлении — со знаком «минус»;
Отрицательные значения тока какой-либо ветви указывают на то, что выбранные ранее произвольные направления тока оказались ошибочными. Это следует учитывать, например, при построении потенциальной диаграммы, где следует знать истинное направление тока.
На рис. 4, а изображена исходная электрическая схема, для которой следует рассчитать токи в ветвях. Направления токов и обхода контуров приведены на рис. 4, б.
Система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид
Если электрическая цепь с помощью эквивалентных преобразований не сводится к одноконтурной цепи, то для ее расчета используются специальные методы: уравнений Кирхгофа, контурных токов, наложения, узловых потенциалов, эквивалентного генератора. Рассмотрим их.
Самым общим методом расчета электрических цепей является метод уравнении Кирхгофа. Суть его заключается в составлении системы уравнений в соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа и решении этой системы относительно неизвестных токов. Система уравнений разрешима, если все входящие в нее уравнения являются линейно независимыми и число уравнений в системе равно числу неизвестных величин. Например, если электрическая цепь имеет у узлов и Ь ветвей, а следовательно, и Ь неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему Ь линейно независимых уравнений. Покажем, что эти уравнения можно составить по первому и второму законам Кирхгофа.
По первому закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько узлов имеет электрическая цепь, т.е. у уравнений. Однако линейно независимыми будут только у — 1 уравнения. Покажем это на примере.
Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для электрической схемы, у которой четыре узла и шесть ветвей (рис. 2.19).
Произвольно выберем направления токов в ветвях; тогда для первого узла / — К — 4 = 0, для второго К + А — /3 = 0, для третьего /6 + /3 — /4 = 0, для четвертого /4 — /| — /5 = 0. Сложив первые три уравнения, получим — /4 + /| + /5 = 0. Умножим это уравнение на — 1. Тогда уравнение для четвертого узла можно получить линейными комбинациями из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для первых у — 1 узлов.
Видно, что одно из уравнений системы, составленное по числу узлов, является зависимым. Поэтому по первому закону Кирхгофа составляется только у — 1 уравнение, т.е. на одно меньше, чем число узлов в электрической цепи. Так как в схеме четыре узла, то число уравнений, которые составляются по первому закону Кирхгофа, равно трем. Остальные п = Ь — (у — 1) линейно независимых уравнений составляются по второму закону Кирхгофа. Для рассматриваемой схемы п = 6 — (4 — 1) = 3.
Таким образом, для электрической цепи, содержащей у узлов и Ь ветвей, по второму закону Кирхгофа можно составить п = Ь — (у — 1) линейно независимых уравнений. При этом общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей электрической цепи.
Расчет электрических цепей с помощью законов Кирхгофа целесообразно проводить в следующем порядке.
- 1. Определить число узлов у и число ветвей Ь в электрической цепи. В соответствии с этим найти количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.
- 2. Обозначить на схеме цепи токи в ветвях и произвольно выбрать их направления. Выбрать независимые замкнутые контуры электрической цепи таким образом, чтобы в каждый контур, во-первых, входило возможно меньшее число ветвей и, во-вторых, чтобы в каждый последующий контур входила хотя бы одна новая ветвь. Произвольно задаться направлением обхода контуров.
- 3. Составить)’ — 1 уравнение по первому закону Кирхгофа. При этом считать положительными токи, входящие в узел, а отрицательными — выходящие из узла, или наоборот.
- 4. Составить п = Ь — (у — 1) уравнений по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях значение ЭДС берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура. Падения напряжений на сопротивлениях в замкнутом контуре электрической цепи берутся со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком «-», если не совпадает.
- 5. Решить составленную систему уравнений относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получаются отрицательными, это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным. Направления этих токов на схеме обратные.
- 6. Проверить правильность решения задачи путем составления уравнения баланса мощности.
Пример 2.4. В электрической цепи (рис. 2.20) Е =50 В, ?3 = 10 В, Гц = 0,4 Ом, г,2 = 1 Ом, /*| = 3 Ом, /’2 = г у = 2 Ом. Требуется определить токи в ветвях.
Решение. В схеме два узла и три ветви. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо составить одно уравнение, а по второму — два. Обозначим на схеме электрической цепи узлы, токи в ветвях и стрелками произвольно укажем их положительные направления. Выберем два независимых контура и стрелками покажем направления их обхода. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла: /( + Л, — /3 = 0 .
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров:
Полученные уравнения образуют систему независимых уравнений с тремя неизвестными:
Решив эту систему, будем иметь: 1 = 10 А, /2 = —2А, /3 = 8 А. По полученным знакам токов устанавливаем, что действительные направления токов 1 и /3 совпадают, а тока /2 — противоположно произвольно выбранным положительным направлениям.
Правильность расчета токов проверяют по балансу мощностей.
При расчете электрических цепей с помощью законов Кирхгофа источники электрической энергии, заданные в виде источника тока, должны учитываться при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа.
Недостатком рассмотренного метода расчета электрических цепей является его громоздкость (число уравнений равно числу ветвей).
Метод непосредственного применения законов Кирхгофа.
Как уже отмечалось, бывают такие цепи, которые не поддаются замене эквивалентной простейшей цепью рассмотренными выше методами. Такие цепи называются сложными электрическими. Их расчёт осуществляется специальными методами. Классическим методом расчёта сложных цепей является метод непосредственного применения законов Кирхгофа.
Обычно расчёт сложных цепей состоит в определении неизвестных токов при заданных значениях ЭДС всех источников и сопротивлений всех участков цепи. Расчёт производится в следующим образом:
- 1. На всех участках цепи стрелками указываются произвольные направления токов. Если направления каких-либо токов будет указано неправильно, то при окончании решения эти токи получатся со знаком минус.
- 2. Для узлов цепи записываются уравнения первого закона Кирхгофа. Если цепь содержит п узлов, записывается п- 1 уравнений.
Рис. 1.23. Сложная цепь для расчета методом контурного тока
- 3. Для замкнутых контуров записываются уравнения второго закона Кирхгофа. Чтобы эти уравнения были независимыми, необходимо следить за тем, чтобы в контуре, для которого записывается уравнение, содержался, хотя бы один участок, не входящий в другие контуры.
- 4. Решается полученная система уравнений. Число уравнений должно оказаться равным числу неизвестных токов.
Например, для схемы (рис. 1.23) можно записать три уравнения по первому закону Кирхгофа и три — по второму закону Кирхгофа.
Рассмотренный метод расчёта универсален. Однако для сильно разветвлённых цепей приходится решать систему с большим числом уравнений, что является недостатком данного метода.
Пример 1.11. Определить токи ветвей схемы (рис. 1.24), если Е = 24 В, Е2 = 48 В; R <= 5 Ом; R2 = 5 Ом; R3 = 10 Ом.
Решение. Обозначим буквами а и б узлы цепи. Укажем стрелками произвольные направления токов /ь /2, /3. Так как число узловых точек п = 2, составим одно уравнение первого закона Кирхгофа (я — 1=2-1= 1). Например, для узла а 
Рис. 1.24. Расчетная схема
Недостающие два уравнения составим по второму закону Кирхгофа. При составлении этих уравнений будем выбирать наиболее простые контуры. Для левого контура: Е = IR + I3R3,
Для правого контура: Е2 = hRi + /3Я3.
Решаем полученную систему трёх уравнений:
Подставив численные значения ЭДС и сопротивлений, получим
Определяем системы уравнений 
Токи ветвей:
Знак минус указывает на то, что направление тока / действительно противоположно предварительно выбранному:
Проверим правильность решения, используя уравнение первого закона Кирхгофа, записанное для узла а:
Вопросы для самопроверки
- 1. В чём сущность расчёта электрических цепей методом непосредственного применения закона Кирхгофа?
- 2. Сколько составляется уравнений при расчёте электрических цепей по первому и второму законам Кирхгофа?
- 3. В чём достоинство и недостаток метода расчёта по законам Кирхгофа?