g′4 = =
Определяем периоды колебаний маятника на каждом участке пути:
Т1 = 2π= 2π≈ 2,3 с,
Т2 = 2π√ l/g = 2π√ 1,0 м / 9, 8 м/с 2 ≈ 2,3 с,
Т3 = 2π√ l/(g + а1) = 2π√ 1,0 м / (9,8 /с 2 + ¼ 9,8 м/с 2 ) ≈ 1,8 с,
Ответ: Период колебаний маятника на первом участке пути Т1 ≈ 2,3 с; на втором участке Т2 ≈ 2,0 с; на третьем участке Т3 ≈ 1,8 с; при горизонтальном движении Т4 ≈ 0,62 с.
Примеры решения задач
1 Колебательный контур индуктивностью 4000 мкГн и емкостью 400 пФ был подключен к источнику напряжением 400 В. Определите частоту и период свободных колебаний в контуре и амплитудное значение силы тока в контуре. Анализ условия. Задача чисто расчетная: все необходимые величины можно вычислить по известным формулам. Однако надо быть внимательным при подстановке величин в эти формулы: пикофарады и микрогенри надо выразить в фарадах и генри.
ω0 = l / √LC = l / √400 · 10 -6 · 400 · 10 -12 = 2,5 · 10 6 рад/с;
ν = ω0 / 2π = 2,5 · 10 6 / 6,28 ≈ 400 · 10 3 Гц = 400 кГц,
Т = 2π√LC = 6,28√400 · 10 -6 · 400 · 10 -12 ≈ 2,5 · 10-6 с = 2,5 мкс,
_____ ___________________________
Поэтому Im = Um √C / L = 400 В √ 400 · 10 -12 / 400 · 10 -6 = 10 -3 А
2 Максимальный заряд конденсатора колебательного контура Qm = 1 Кл, а циклическая частота ω0 = 1 рад/с. Чему равна амплитуда колебаний силы тока в контуре?
Анализ условия. Задача сводится к нахождению соотношения между амплитудой тока, амплитудой заряда и циклической частотой.
Обратите внимание на полученный результат, он вам в дальнейшем будет нужен.
Вычисление. Im = 1 Кл · 1 1/с = 1 А
Примеры решения задач
1 Максимальный заряд на обкладках конденсатора колебательного контура qm = 10 -6 Кл. Амплитудное значение силы тока в контуре Im = 10 -3 А. Определите период колебаний. Потерями при нагревании проводников можно пренебречь.
Решение. Согласно закону сохранения энергии максимальное значение энергии электрического поля конденсатора равно максимальному значению энергии магнитного поля катушки:
Следовательно, Т = 2π√LC = 2π · qm / Im ≈ 6,3 · 10 -3 с
2 Рамка площадью S = 3000 см 2 имеет N = 200 витков и вращается в однородном магнитном поле с индукцией B = 1,5 · 10 -2 Тл. Максимальная ЭДС в рамке Em = 1,5 В. Определите время одного оборота.
Решение: Амплитуда ЭДС индукции в одном витке равна BSω. Так как ЭДС, возникающие в отдельных витках рамки, складываются, то для амплитуды ЭДС в рамке, имеющей N витков, получим Em = BSω.Отсюда
Время одного такого оборота можно найти так:
Т = 2π / ω = 2πNBS / Em ≈ 3,8 · 10 -2 с
3 Катушка с индуктивным сопротивлением ХL = 500 Ом присоединена к источнику переменного напряжения, частота которого ν = 1000 Гц. Действующее значение напряжения U = 100В. Определите амплитуду силы тока Im в цепи и индуктивность катушки L. Активным сопротивлением катушки можно пренебречь.
- АлтГТУ 419
- АлтГУ 113
- АмПГУ 296
- АГТУ 266
- БИТТУ 794
- БГТУ «Военмех» 1191
- БГМУ 172
- БГТУ 602
- БГУ 153
- БГУИР 391
- БелГУТ 4908
- БГЭУ 962
- БНТУ 1070
- БТЭУ ПК 689
- БрГУ 179
- ВНТУ 119
- ВГУЭС 426
- ВлГУ 645
- ВМедА 611
- ВолгГТУ 235
- ВНУ им. Даля 166
- ВЗФЭИ 245
- ВятГСХА 101
- ВятГГУ 139
- ВятГУ 559
- ГГДСК 171
- ГомГМК 501
- ГГМУ 1967
- ГГТУ им. Сухого 4467
- ГГУ им. Скорины 1590
- ГМА им. Макарова 300
- ДГПУ 159
- ДальГАУ 279
- ДВГГУ 134
- ДВГМУ 409
- ДВГТУ 936
- ДВГУПС 305
- ДВФУ 949
- ДонГТУ 497
- ДИТМ МНТУ 109
- ИвГМА 488
- ИГХТУ 130
- ИжГТУ 143
- КемГППК 171
- КемГУ 507
- КГМТУ 269
- КировАТ 147
- КГКСЭП 407
- КГТА им. Дегтярева 174
- КнАГТУ 2909
- КрасГАУ 370
- КрасГМУ 630
- КГПУ им. Астафьева 133
- КГТУ (СФУ) 567
- КГТЭИ (СФУ) 112
- КПК №2 177
- КубГТУ 139
- КубГУ 107
- КузГПА 182
- КузГТУ 789
- МГТУ им. Носова 367
- МГЭУ им. Сахарова 232
- МГЭК 249
- МГПУ 165
- МАИ 144
- МАДИ 151
- МГИУ 1179
- МГОУ 121
- МГСУ 330
- МГУ 273
- МГУКИ 101
- МГУПИ 225
- МГУПС (МИИТ) 636
- МГУТУ 122
- МТУСИ 179
- ХАИ 656
- ТПУ 454
- НИУ МЭИ 641
- НМСУ «Горный» 1701
- ХПИ 1534
- НТУУ «КПИ» 212
- НУК им. Макарова 542
- НВ 777
- НГАВТ 362
- НГАУ 411
- НГАСУ 817
- НГМУ 665
- НГПУ 214
- НГТУ 4610
- НГУ 1992
- НГУЭУ 499
- НИИ 201
- ОмГТУ 301
- ОмГУПС 230
- СПбПК №4 115
- ПГУПС 2489
- ПГПУ им. Короленко 296
- ПНТУ им. Кондратюка 119
- РАНХиГС 186
- РОАТ МИИТ 608
- РТА 243
- РГГМУ 118
- РГПУ им. Герцена 124
- РГППУ 142
- РГСУ 162
- «МАТИ» — РГТУ 121
- РГУНиГ 260
- РЭУ им. Плеханова 122
- РГАТУ им. Соловьёва 219
- РязГМУ 125
- РГРТУ 666
- СамГТУ 130
- СПбГАСУ 318
- ИНЖЭКОН 328
- СПбГИПСР 136
- СПбГЛТУ им. Кирова 227
- СПбГМТУ 143
- СПбГПМУ 147
- СПбГПУ 1598
- СПбГТИ (ТУ) 292
- СПбГТУРП 235
- СПбГУ 582
- ГУАП 524
- СПбГУНиПТ 291
- СПбГУПТД 438
- СПбГУСЭ 226
- СПбГУТ 193
- СПГУТД 151
- СПбГУЭФ 145
- СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 380
- ПИМаш 247
- НИУ ИТМО 531
- СГТУ им. Гагарина 114
- СахГУ 278
- СЗТУ 484
- СибАГС 249
- СибГАУ 462
- СибГИУ 1655
- СибГТУ 946
- СГУПС 1513
- СибГУТИ 2083
- СибУПК 377
- СФУ 2423
- СНАУ 567
- СумГУ 768
- ТРТУ 149
- ТОГУ 551
- ТГЭУ 325
- ТГУ (Томск) 276
- ТГПУ 181
- ТулГУ 553
- УкрГАЖТ 234
- УлГТУ 536
- УИПКПРО 123
- УрГПУ 195
- УГТУ-УПИ 758
- УГНТУ 570
- УГТУ 134
- ХГАЭП 138
- ХГАФК 110
- ХНАГХ 407
- ХНУВД 512
- ХНУ им. Каразина 305
- ХНУРЭ 324
- ХНЭУ 495
- ЦПУ 157
- ЧитГУ 220
- ЮУрГУ 306
Полный список ВУЗов
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Электромагнитные колебания, возникающие в идеальном колебательном контуре (при отсутствии в нем активного сопротивления), описываются уравнениями, аналогичными уравнениям механических колебаний. В идеальном электромагнитном контуре заряд на обкладках конденсатора, разность потенциалов (напряжение) между его обкладками и сила тока в катушке индуктивности изменяются с течением времени по гармоническим законам.
Зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени описывается уравнениями:
q ( t ) = q max sin ( ω t + φ 0 ) или q ( t ) = q max cos ( ω t + φ 0 ) ,
где q max — максимальное значение заряда ( амплитуда заряда ); φ — фаза колебаний, φ = ω t + φ 0 ; φ 0 — начальная фаза колебаний.
Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:
1) если колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора максимален), то для описания колебаний заряда выбирают формулу
q ( t ) = q max cos ω t ;
2) если колебания начинаются при полностью разряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора равен нулю), то для описания колебаний заряда выбирают формулу
q ( t ) = q max sin ω t .
Зависимость напряжения между обкладками конденсатора от времени описывается уравнениями:
U ( t ) = U max sin ( ω t + φ 0 ) или U ( t ) = U max cos ( ω t + φ 0 ) ,
где U max — максимальное значение напряжения ( амплитуда напряжения ); φ — фаза колебаний, φ = ω t + φ 0 ; φ 0 — начальная фаза колебаний.
Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:
1) если колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора и разность потенциалов на его обкладках максимальны), то для описания колебаний напряжения выбирают формулу
U ( t ) = U max cos ω t ;
2) если колебания начинаются при полностью разряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора и разность потенциалов на его обкладках равны нулю), то для описания колебаний напряжения выбирают формулу
U ( t ) = U max sin ω t .
Зависимость силы тока в катушке индуктивности от времени описывается уравнениями:
I ( t ) = I max sin ( ω t + φ 0 ) или I ( t ) = I max cos ( ω t + φ 0 ) ,
где I max — максимальное значение силы тока ( амплитуда силы тока ); φ — фаза колебаний, φ = ω t + φ 0 ; φ 0 — начальная фаза колебаний.
Для упрощения этих уравнений целесообразно пользоваться правилами:
1) если электромагнитные колебания начинаются при максимальной силе тока в катушке индуктивности, то для описания колебаний силы тока выбирают формулу
I ( t ) = I max cos ω t ;
2) если электромагнитные колебания начинаются при отсутствии силы тока в катушке индуктивности, то для описания колебаний силы тока выбирают формулу
I ( t ) = I max sin ω t .
При решении задач на электромагнитные гармонические колебания следует помнить, что одно полное колебание происходит за время, равное периоду колебаний; при этом любая из величин, изменяющихся по гармоническому закону (заряд, напряжение, сила тока), проходит ряд последовательных состояний, возвращаясь в исходное состояние с начальным значением соответствующей величины:
1. Если колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе (рис. 10.13), то через время, равное:
- четверти периода ( t = T /4), конденсатор полностью разряжается, а в катушке индуктивности течет максимальный ток в определенном направлении;
- половине периода ( t = T /2), ток в катушке индуктивности полностью исчезает, а на обкладках конденсатора вновь появляется максимальный заряд, однако обкладки конденсатора меняют знак (полярность);
- трем четвертям периода ( t = 3 T /4), в катушке индуктивности сила тока вновь принимает максимальное значение, однако ток в этом случае течет в противоположном направлении;
- периоду ( t = T ), колебательный контур возвращается в исходное состояние: конденсатор полностью заряжен, его обкладки имеют исходную полярность, ток в катушке индуктивности отсутствует.
2. Если колебания начинаются при максимальном токе в катушке индуктивности (рис. 10.14), то через время, равное:
- четверти периода ( t = T /4), ток в катушке полностью исчезает, а на обкладках конденсатора появляется максимальный заряд;
- половине периода ( t = T /2), ток в катушке вновь принимает максимальное значение, однако направление тока при этом противоположно первоначальному, конденсатор полностью разряжается;
- трем четвертям периода ( t = 3 T /4), в катушке индуктивности ток вновь отсутствует, а обкладки конденсатора заряжаются полностью, однако полярность обкладок (знак заряда) противоположная;
- периоду ( t = T ), колебательный контур возвращается в исходное состояние: в катушке течет максимальный ток в первоначальном направлении, а конденсатор полностью разряжен.
Мгновенные значения (значения в один и тот же произвольный момент времени) заряда на обкладках конденсатора, напряжения между ними и силы тока в катушке связаны между собой соотношениями:
- величины заряда на обкладках конденсатора и напряжения между ними —
где q ( t ) — мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора; C — электроемкость конденсатора; U ( t ) — мгновенное значение напряжения на его обкладках;
- величины заряда на обкладках конденсатора и модуля силы тока в катушке индуктивности —
где I ( t ) — мгновенное значение силы тока в катушке индуктивности; ω — циклическая частота колебаний; q * ( t ) — мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора, q * ( t ) = q max cos(ω t + π/2).
Максимальные значения заряда на обкладках конденсатора, напряжения между ними и силы тока в катушке связаны между собой соотношениями:
- величины максимального заряда на обкладках конденсатора и максимального значения напряжения —
где q max — максимальный заряд на обкладках конденсатора; C — электроемкость конденсатора; U max — максимальная разность потенциалов (напряжение) между обкладками конденсатора;
- величины максимального заряда на обкладках конденсатора и максимального значения силы тока в катушке индуктивности —
где I max — максимальное значение силы тока в катушке индуктивности; ω — циклическая частота колебаний; q max — максимальный заряд на обкладках конденсатора.
Пример 10. В идеальном контуре возбуждены электромагнитные гармонические колебания, в результате которых напряжение между обкладками конденсатора изменяется по закону
U ( t ) = 0,50 cos π t / 2 ,
где U — напряжение в вольтах; t — время в секундах.
Найти величину заряда на обкладках конденсатора через 0,50 с после начала колебаний, если конденсатор имеет электроемкость 20 мкФ.
Решение . Напряжение на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону и через указанное время t = 0,50 с составляет
U = 0,50 cos π / 4 = 0,25 2 В.
Величина заряда на обкладках конденсатора связана с разностью потенциалов (напряжением) между ними формулой
где q — искомый заряд в указанный момент времени; C — электроемкость конденсатора, C = 20 мкФ; U — рассчитанная разность потенциалов (напряжение) между обкладками конденсатора в тот же момент времени, U = 0,25 2 В.
Отсюда следует, что искомый заряд определяется произведением
q = 20 ⋅ 10 − 6 ⋅ 0,25 2 ≈ 7,1 ⋅ 10 − 6 Кл = 7,1 мкКл.
Через 0,50 с после начала колебаний заряд конденсатора равен 7,1 мкКл.
«>