Для всех бесконечно малых элементов dl отрезка векторы dl и rлежат в плоскости листа. Поэтому векторы dB, созданные в выбранной нами точке различными элементами проводника направлены одинаково – перпендикулярно плоскости листа. Следовательно, сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB.
Из рисунка видно, что r = b/sina
(b – расстояние от проводника до инте-ресующей нас точки), и
.
Тогда индукция, созданная элементом проводника dl, равна
.
Индукция магнитного поля, созданного всем проводником, может быть найдена как интеграл от dB в пределах от a1 до + a2:
Иногда удобнее воспользоваться другим выражением:
(обратите внимание на рисунок, показывающий углы q1 и q2).
Обратите также внимание на то, что если точка расположена так, как показано на следующем рисунке, то q2 меняет знак и формула для расчёта магнитного поля прямолинейного отрезка записывается следующим образом:
.
Индукция магнитного поля бесконечно длинного
Прямолинейного проводника с током
Если длина прямого проводника бесконечно велика, то a1 = 0, а a2 = p.
В этом случае индукция магнитного поля, созданного проводником, будет равна
.
Таким образом, индукция магнитного поля, созданного бесконечно длинным проводником прямо пропорциональна току в проводнике и обратно пропорциональна расстоянию от проводника до интересующей нас точки.
Дополнительно рассмотрим магнитное поле, созданное бесконечным проводником, который изогнут под прямым углом.
Ограничимся получением расчётной формулы для точки А, расположенной на продолжении одной из половин проводника.
Участок DB в точке А не создаёт магнитного поля, так как для него a1 и a2 равны 0.
Для участка ВС a1 = 90 0 , a2 = -180 0 . Поэтому индукция, созданная этим участком, равна
.
Таким образом, индукция магнитного поля в точке А равна половине индукции, созданной прямым бесконечно длинным проводником с таким же током.
Индукция магнитного поля в центре квадрата
Рассмотрим квадрат со стороной а, в котором течёт ток I.
Все стороны квадрата создают в его центре одинаковое магнитное поле. Поэтому если индукция, созданная одной стороной, равна В, то магнитная индукция, созданная всеми сторонами, равна 4В.
В рассматриваемом случае a1 = 45 0 , а a2 = 135 0 (см. рисунок).
Индукция магнитного поля, созданного одной стороной, равна:
.
Соответственно индукция магнитного поля, созданного всеми сторонами, равна
.
В показанном на рисунке случае индукция магнитного поля направлена перпендикулярно плоскости квадрата на нас.
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-12; Нарушение авторского права страницы
Страницы работы
Содержание работы
где v – скорость направленного движения свободных носителей заряда. Умножив В на количество свободных носителей заряда в элементе проводника dl, получим индукцию магнитного поля, созданную этим элементом проводника с током,
;
.
Таким образом, индукция магнитного поля, созданного элементом dl проводника с током I на расстоянии r от элемента проводника, определяется выражением
.
Это выражение и представляет собой закон Био–Савара–Лапласа.
Из закона видно, что вектор магнитной индукции dB всегда перпендикулярен плоскости, в ко-торой лежат векторы dl и r. Его направление определяется по правилу правого винта.
Модуль вектора dB определяется из выражения
,
где a – угол между векторами dl и r.
* Здесьj – вектор плотности тока.
Необходимо учесть, что полученное выражение позволяет рассчитать индукцию магнитного поля, созданную одним бесконечно малым элементом проводника dl с током I.
Для того чтобы найти магнитную индукцию, созданную всемпроводником, необходимо использовать принцип суперпозиции, т. е. просуммировать векторы dB, созданные каждым элементом проводника в интересующей нас точке.
3.4. Расчёт магнитных полей с помощью закона
Био–Савара–Лапласа
3.4.1. Индукция магнитного поля отрезка прямолинейного проводника с током
Для всех бесконечно малых элементов dl отрезка векторы dl и r лежат в плоскости листа. Поэтому векторы dB, созданные в выбранной нами точке различными элементами проводника направлены одинаково – перпендикулярно плоскости листа. Следовательно, сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB.
Из рисунка видно, что r = b/sina
(b – расстояние от проводника до инте-ресующей нас точки), и
.
Тогда индукция, созданная элементом проводника dl, равна
.
Индукция магнитного поля, созданного всем проводником, может быть найдена как интеграл от dB в пределах от a1 до + a2:
Иногда удобнее воспользоваться другим выражением:
(обратите внимание на рисунок, показывающий углы q1 и q2).
Обратите также внимание на то, что если точка расположена так, как показано на следующем рисунке, то q2 меняет знак и формула для расчёта магнитного поля прямолинейного отрезка записывается следующим образом:
.
3.4.2. Индукция магнитного поля бесконечно длинного
прямолинейного проводника с током
Если длина прямого проводника бесконечно велика, то a1 = 0, а a2 = p.
В этом случае индукция магнитного поля, созданного проводником, будет равна
.
Таким образом, индукция магнитного поля, созданного бесконечно длинным проводником прямо пропорциональна току в проводнике и обратно пропорциональна расстоянию от проводника до интересующей нас точки.
Дополнительно рассмотрим магнитное поле, созданное бесконечным проводником, который изогнут под прямым углом.
Ограничимся получением расчётной формулы для точки А, расположенной на продолжении одной из половин проводника.
Участок DB в точке А не создаёт магнитного поля, так как для него a1 и a2 равны 0.
Для участка ВС a1 = 90 0 , a2 = -180 0 . Поэтому индукция, созданная этим участком, равна
.
Таким образом, индукция магнитного поля в точке А равна половине индукции, созданной прямым бесконечно длинным проводником с таким же током.
3.4.3. Индукция магнитного поля в центре квадрата
Рассмотрим квадрат со стороной а, в котором течёт ток I.
Все стороны квадрата создают в его центре одинаковое магнитное поле. Поэтому если индукция, созданная одной стороной, равна В, то магнитная индукция, созданная всеми сторонами, равна 4В.
В рассматриваемом случае a1 = 45 0 , а a2 = 135 0 (см. рисунок).
Индукция магнитного поля, созданного одной стороной, равна:
.
Соответственно индукция магнитного поля, созданного всеми сторонами, равна
.
В показанном на рисунке случае индукция магнитного поля направлена перпендикулярно плоскости квадрата на нас.
3.4.4. Расчёт магнитного поля замкнутого кругового тока
(витка с током).
Пусть радиус витка равен R, а ток в нём – I.
Вначале рассмотрим расчёт поля в центре витка.
Каждый элемент тока будет создавать индукцию, направленную вдоль оси витка. Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение dB алгебраическое и
,
(в каждой точке a = 90 0 )
.
Поле на оси витка на расстоянии b от центра витка рассчитывается несколько сложнее. В этом случае векторы dB не параллельны друг другу.
При суммировании составляющие векторов dB, перпендикулярные оси, уничтожаются, а параллельные оси – складываются.
Из рисунка видно, что
;
.
Проинтегрировав это выражение по всему контуру, получаем
.
На рисунке 3.2.2 часть замкнутой электрической цепи — прямолинейный отрезок проводника MN с током / — лежит в плоскости чертежа.
Согласно закону Био-Савара-Лапласа в неферромагнитной среде
(ц=1):
где dВ — численное значение вектора магнитной индукции сШ поля, создаваемого в точке А элементом d/ (отрезок ВС на рис. 3.2.2) проводника с током /; ср — угол между векторами dl и г , которые для всех участков отрезков проводника М N лежат в плоскости чертежа. Поэтому в точке А все векторы dВ, характеризующие магнитные поля, создаваемые отдельными участками проводника, ориентированы перпендикулярно плоскости чертежа («к нам»), и вектор В результирующего магнитного поля ориентирован также и численно равен:
В выражении под интегралом необходимо все переменные выразить через одну переменную, а именно через независимую переменную — угол ср.
Проведем из центра в точке А (рис. 3.2.2) дугу CD окружности, радиус которой, вследствие малости длины d/ участка ВС проводника можно считать равным г, а отрезок CD перпендикулярным вектору г . Из рисунка можно получить:
где г0 — длина перпендикуляра АЕ, проведённого из точки А к отрезку проводника, ёф — бесконечно малый угол, на который опирается дуга CD.
Подставив (3.2.8) в (3.2.7), получим: В = — / [ Фз 8 * П( Р^Ф ^
где ф! и ф2 — значения угла ф для элементов проводника, расположенных в крайних его точках М и N. Окончательно получаем выражение, определяющее индукцию В магнитного поля, созданного прямолинейным отрезком проводника с током I.
Если проводник бесконечно длинный (или длина проводника / намного больше расстояния до точек, в которых определяется поле), т. е. / » г0, то ф! = 0, ф2 = я и индукция магнитного поля такого проводника равна:
Линии индукции магнитного поля прямолинейного тока представляют собой концентрические окружности, центры которых лежат на оси проводника, а плоскости, в которых лежат эти окружности, перпендикулярны проводнику.
Применяя полученные формулы к расчёту магнитного поля в центре прямоугольного витка со сторонами а и Ь, обтекаемого током / (рис. 3.2.3), получим: