Линейные и нелинейные системы

Читайте также:

1. APS системы
2. CASE-системы
3. CSPR системы
4. Cимпатическая нервная система. Центральный и периферический отдел симпатической нервной системы.
5. ERP системы
6. I — подсистемы — об этом речь шла выше.
7. I. Конституционное право России как отрасль российской правовой системы.
8. I. Концепция безопасности системы защиты
9. I. Открытые системы как предмет синергетики
10. I. Понятие и структура политической системы общества.
11. II. Взаимодействие государства с иными элементами политической системы общества.
12. II. Подсистемы политической системы – политические структуры (организации, организационные комплексы).

Одномерные и многомерные системы

Системы автоматического регулирования и следящие системы

Частным, но широко распространенным видом систем автоматического управления является система автоматического регулирования (САР), задача которой заключается в стабилизации выходной величины X объекта на заданном уровне G , т. е. в поддержании равенства X = G . Следо­вательно, САУ можно рассматривать как вырожденный случай системы про­граммного управления, когда задание G неизменно.

Управляющее устройство в системах автоматического регулирования на­зывается регулятором, а выходная величина — регулируемой величиной.

Другим частным видом систем автоматического управления являются следящие системы. В отличие от систем регулирования у них задаю­щее воздействие не постоянно, изменяется по заранее неизвестному закону. Задающее воздействие поступает на систему извне и задачей системы являет­ся обеспечение слежения выходной величиной объекта за изменяющейся за­дающей величиной так, чтобы все время поддерживалось равенство X = G .

В зависимости от количества выходных величин объекта управления, об­разующих вектор выходной величины X, различаются одномерные и многомерные (двухмерные и т. д.) САУ.

На рис. 10.1, в общем случае, изображены одномерные системы. Многомерные САУ, в свою очередь, делятся на системы несвязанного и связанного управления (регулирования).

Система несвязанного управления имеет несколько управ­ляющих устройств, каждое из которых осуществляет управление своей вы­ходной величиной объекта. При этом все эти устройства не имеют взаимных связей. (Последнее, однако, не исключает возможности влияния управляю­щих устройств друг на друга через объект управления или, например, через общий источник питания.)

В системе связанного управления отдельные управляющие устройства связаны друг с другом внешними связями. Входящая в состав многомерной системы управления (как связанной, так и несвязанной) отдель­ная система управления называется автономной, если управляемая ею выходная величина объекта не зависит от значений остальных управляемых величин, так что изменение последних не вызывает изменения этой величи­ны. Часто с целью получения автономности (необходимой по какой-либо эксплуатационной причине) вводят внешние связи между отдельными управ­ляющими устройствами.

Линейной называется система, которая описывается линейными урав­нениями, т. е. имеет линейную математическую модель. В противном случае система является нелинейной. Чтобы система была нелинейной, доста­точно иметь в ее составе хотя бы одно нелинейное звено, т. е. звено, описы­ваемое нелинейным уравнением.

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Он за­ключается в том, что реакция системы на любую комбинацию внешних воз­действий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий, поданных на систему порознь. Принцип суперпозиции позволяет выразить реакцию сис­темы на любое произвольное воздействие через реакцию системы на элемен­тарное типовое воздействие, например, в виде ступеньки. Для этого доста­точно представить данное входное воздействие в виде совокупности выбран­ных типовых воздействий. На основе принципа суперпозиции разработана общая теория линейных систем автоматического управления, описываемых линейными дифференциальными уравнениями любого порядка.

К нелинейным системам принцип суперпозиции не применим. Нет и об­щей теории нелинейных дифференциальных уравнений, на основе которой могла бы быть создана общая теория нелинейных систем автоматического управления. Существует лишь ряд частных методов для решения некоторых видов нелинейных уравнений. Вместе с тем, если не ограничивать диапазон изменения входных воздействий, то все реальные системы автоматического управления оказываются нелинейными. Трудность исследования нелинейных систем заставляет упрощать их описание. Желательным пределом такого уп­рощения является приближенное описание их линейными уравнениями, хотя бы в некоторых из интересующих нас режимов. Это называется линеари­зацией нелинейных систем.

Дата добавления: 2014-01-05 ; Просмотров: 4713 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Линейными моделями считают такие, для которых выполняется принцип суперпозиции: реакция на суммарное входное воздействие является суммой реакций на каждое из отдельных входных воздействий, составляющих это суммарное.

Такое определение охватывает как статические, так и динамические модели. Применительно к линейным моделям можно также утверждать, что их выход пропорционален входу: чем больше сигнал на входе, тем больше он на выходе. При этом отношение величины выходного сигнала в установившемся режиме к величине входного является коэффициентом пропорциональности.

Так, динамическое уравнение

из предыдущего примера является линейной моделью (поскольку и сами переменные x(t), y(t), и их производные – в данном случае y'(t) – входят в уравнение в первой степени). Из этого уравнения можно легко получить статическую модель (статическую характеристику), приравняв производные нулю (так как статическая характеристика – это зависимость выхода от входа в установившемся режиме, т.е. в таком режиме, когда закончены все переходные процессы, а значит, и все изменения переменных). Итак, получаем: 4y = 5x, или y = 1,25x. Коэффициент пропорциональности в данном случае равен 1,25.

Линейную статическую характеристику и прохождение сигналов с выхода на вход безынерционного звена, а также искажение выходного сигнала из-за нелинейной статической характеристики типа «насыщение» иллюстрирует рис. 1.16.

Рис. 1.16. Линейная и нелинейная статические характеристики

Однако линейные и нелинейные модели используются не только в технике. Например, в фольклоре разных народов существуют поговорки, изречения, передающие народную мудрость, которые также можно рассматривать в качестве семантических моделей.

Примеры линейных моделей: 1) «Чем дальше в лес, тем больше дров»; 2) «По доходу и расход».

Рис. 1.17. Линейные семантические модели

В двух первых моделях пропорциональная статическая зависимость выхода от входа проиллюстрирована на рис. 1.17.

Примеры нелинейных моделей: 1) «Мал золотник, да дорог»; 2) «Велика фигура, да дура». В двух последних моделях нелинейность выражается в обратной пропорциональности выхода входу и может быть отображена на графике статической характеристики (рис. 1.18).

Рис. 1.18. Нелинейные семантические модели

Разумеется, что как линейные, так и разнообразные нелинейные модели находят применение и в других областях. Так, например, в биологии известно, что чем больше вес животного, тем больше пищи оно употребляет для поддержания энергетического баланса (линейная модель) или чем меньше размеры млекопитающего, тем выше у него частота пульса (нелинейная модель) и т.п.

Линейные модели с помощью линейных же преобразований можно трансформировать в другие линейные модели. Например, от модели в виде линейного дифференциального уравнения путем применения линейного интегрального преобразования Лапласа можно перейти к модели в виде передаточной функции. Покажем это на уравнении:

Применим к нему преобразование Лапласа и получим: 2sY(s)+4Y(s)=5X(s), где s – комплексная переменная Лапласа. Далее в левой части вынесем за скобки Y(s) и вспомним из курса ТАУ, что передаточная функция есть отношение преобразованного по Лапласу (при нулевых начальных условиях) выходного сигнала к преобразованному по Лапласу (при тех же условиях) входному сигналу. В результате получим:

Таким образом, мы получили передаточную функцию апериодического звена с коэффициентом усиления, равным 1,25, и постоянной времени, равной 0,5. При желании можно с помощью линейного преобразования Фурье получить из исходной модели еще одну линейную модель в виде частотных характеристик (из передаточной функции получить ее совсем просто: нужно только произвести замену s=jω). Итак,

Как правило, реальные объекты и процессы имеют в той или иной степени нелинейный характер, но во многих случаях можно осознанно пренебречь нелинейными свойствами для того, чтобы воспользоваться хорошо разработанным математическим аппаратом исследования линейных моделей для получения предварительных результатов. Однако делать это нужно осторожно, объективно оценивая погрешности и обосновывая возможность такого упрощения.

Так, например, при тщательном описании оказывается, что фактически любые датчики имеют зону нечувствительности – сугубо типовую нелинейность, которая характеризует тот факт, что при очень малых сигналах на входе даже самый чувствительный измерительный прибор на выходе показывает «нуль», означающий отсутствие входного сигнала. Все зависит от величины этой зоны нечувствительности: в некоторых случаях она так мала, что ей можно пренебречь, и тогда модель становится уже линейной.

Стационарные и нестационарные системы

Система называется стационарной, если закон преобразования системы остается неизменным для любого момента времени.

Система называется нестационарной, если закон преобразования сигналов системой в общем случае меняется с изменением времени.

Частным, но чрезвычайно важным для практики случаем вышеприведенных зависимостей являются линейные зависимости, т.е. когда для получения значения выхода осуществляются лишь линейные операции умножения на постоянный множитель и суммирование.

В этом случае линейная стационарная статическая система осуществляет преобразование по формуле:

,

где W – постоянный коэффициент.

Линейная стационарная дискретная динамическая система осуществляет преобразование в соответствии с формулой:

т.е. значение выхода в момент времени кТ равно сумме всех предыдущих значений входа, причем каждое слагаемое в этой сумме берется с определенным «весом», определяемым величиной коэффициентов W_j.. Соответственно непрерывная линейная стационарная система (рис. 1 – 5) осуществляет преобразования по формуле:

;

т.е. для определения значения выхода в момент времени t необходимо просуммировать все предыдущие значения входа с «весами», определяемыми функцией W(x) (функция веса).

Другой употребляемой формой записи законов преобразования сигнала динамическими системами является запись в виде уравнений: разностных для дискретных систем и дифференциальных – для непрерывных.

Так, линейная динамическая стационарная дискретная система может быть охарактеризована линейным разностным уравнением с постоянным коэффициентом:

где D i y(kT) и D i x(kT) – i-я разность дискретной последовательности y(kT) и x(kT) для момента времени kT.

Непрерывная система описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

Важным свойством линейных систем является применимость к ним принципа наложения (суперпозиции), который формулируется следующим образом. Реакция линейной системы на сумму воздействия равна сумме реакций на каждое из этих воздействий, взятых по отдельности.

Отсюда вытекает два важных следствия:

1. Линейная система с l входами (рис. 1 – 6) может рассматриваться как l систем с одним выходом.

2. Для полного описания характера преобразований, осуществляемых линейной системой, достаточно знать лишь реакцию этой системы на одно какое-нибудь входное воздействие. Зная ее, можно затем найти реакцию системы на любое другое воздействие, даже если уравнение системы остается неизвестным.

Реакция линейной системы на некоторое выбранное типовое воздействие называется динамической характеристикой системы.

Практически очень важно, что динамическая характеристика может быть получена экспериментальным путем, т.к. сложность внутренней структуры большинства объектов практически исключает полное изучение его аналитическим путем.

Системы, не подчиняющиеся суперпозиции, называются нелинейными. Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8460 — | 7349 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно